Homotècia i semblança 3r

HOMOTÈCIA- SEMBLANÇA

L’homotècia és una tranformació geomètrica, una correspondència biunívoca entre dues figures en què es compleix que les parelles de punts homotètics estan alineats amb el centre d'homotècia i els segments homotètics són paral·lels.

Quan els punts homotètics es troben alineats amb el centre però en extrems oposats de les radiacions, l'homotècia és INVERSA. Quan els dos punts homotètics es troben al mateix costat respecte al centre, l’ homotècia, és DIRECTA.

Homotècia DIRECTA: Les figures homotètiques directes són semblants i mai són equivalents. El factor de proporcionalitat entre figures homotètiques directes és sempre positiva.

Homotècia INVERSA: Les figures homotètiques inverses responen a un factor de proporcionalitat negatiu, són equivalents si el factor de proporcionalitat és -1. En aquest cas la figura no és semblant, és el producte de dues simetries axials on els eixos, un de vertical i un altre horitzontal, passen pel centre d'homotècia.

ELEMENTS EN PROBLEMES: Una homotècia queda definida al conèixer algunes de les següents dades:

1 - El centre d'homotècia i un parell de punts homotètics.

2 - El centre i la raó de semblança o factor de proporcionalitat.

3 - Dues figures homotètiques.

A l’ homotècia SEMPRE ES COMPLEIX

1 - ELS PUNTS homotètics sempre estan alineats amb el centre d’homotècia, mentre que les RECTES homotètiques sempre són paral · leles.

2 - Dues CIRCUMFERÈNCIES sempre són homotètiques i tenen el centre d’homotècia alineat amb els centres. El centre està en el punt on es tallen les tangents exteriors per homotècia directa i en el punt on es tallen les tangents interiors per l'homotècia inversa. Els radis que van a parar a punts homotètics de les circumferències són paral · lels.

FACTOR DE PROPORCIONALITAT A L’homotècia (Raó de semblança)

El factor de proporcionalitat en l'homotècia ve marcat per la distància entre el centre i els punts homotètics de la figura donada.

També podem trobar raons de semblança fraccionades. A23questes vénen determinades per la divisió en parts iguals de la distància entre els punts homotètics o un d'ells amb el centre.

Tangents interiors i exteriors a una circumferència. Per homotècia

Donades dues circumferències i els seus centres, traçar les tangents exteriors emprant les propietats de la homotècia.

1r - Tracem una recta que uneix els centres de les dues circungferencias.

2n - Tracem dos radis paral · lels a les circumferències i unim els dos punts d'intersecció amb les circumferències per DETERMINAR sobre la recta que uneix els centres de les circumferències el centre d'homotècia directa.

3r - Trobem els punts de tangència de les rectes tangents a la circumferència més propera al centre d'homotècia que passen per aquest. No les dibuixem encara, només els radis que van als punts de tangència.

4t - A la circumferència major tracem radis paral · lels (homotètics) als trobats en el pas anterior i determinem els punts de tangència.

5è - Les rectes tangents exteriors han de passar pels punts de tangència 2-2 i pel centre d'homotècia, les tracem.

HEM TROBAT EL CENTRE D’homotècia DIRECTA, TROBAT Els punts de tangència AMB UNA CIR. I TROBAT ELS SEUS Homotètics A LA SEGONA PER RESOLDRE EL PROBLEMA.

Donades dues circumferències i els seus centres, traçar les tangents interiors emprant les propietats de l’ homotècia.

BUSQUEM EL CENTRE D’homotècia INDIRECTA:

1r-Unim els centres de les circumferències. Sobre aquest segment es trobarà el centre d'homotècia.

2n-Tracem dos radis paral · lels a les circumferències però en costats oposats de la recta que uneix els centres.

Obtenim dos punts d'intersecció, un a sobre cada circumferència. Els unim i el punt d'intersecció d'aquest segment amb el que uneix els dos centres de la circumferència és el centre d'homotècia INVERSA.

3r - Trobem els punts de tangència de les rectes tangents que passen pel centre d'homotècia a una de les circumferències (hem fet servir la més gran per claredat). No tracem les tangents però si els seus radis.

2n - Tracem radis paral · lels als últims en l'altra circumferència però invertint el costat de la recta que uneix els centres al que es troben. Així obtenim els punts de tangència en l'altra circumferència.

5è - Unim els punts de tangència per obtenir les rectes tangents, aquestes han de tallarse al centre d’homotècia.